§7.3兩條直線的位置關(guān)系
4、點到直線的距離（說課教案）
一．教材分析：
1．本節(jié)教材在本章中的地位和作用：
本章內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)中僅有的兩章解析幾何知識的第一章，是屬于解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識，不但是進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線以及其他曲線方程的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，微分、積分等的基礎(chǔ)，在解決許多實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，而本節(jié)教材是本章教材三大部分的第一部分中的重要內(nèi)容，是本章環(huán)環(huán)緊扣的知識鏈中必不可少的一環(huán)。
這節(jié)課“點到直線的距離”是本節(jié)教材“兩直線的位置關(guān)系”的最后一個內(nèi)容，在解決實際生活問題中以及代數(shù)、解析幾何、立體幾何中都有著重要而廣泛的應(yīng)用。例如：求最小值問題，對一些新知識新概念的定義，建立方程的問題等等，立竿見影，運用點到直線的距離公式都可以簡便迅速地解決問題，還可使學(xué)生形成完整的直線這部分知識的結(jié)構(gòu)體系。
2、本節(jié)內(nèi)容的具體安排及編寫思路：
出于簡潔性的考慮，教材編寫單刀直入地直接提出核心問題，并給予解決的方法。我編寫本節(jié)教案時，通過創(chuàng)設(shè)問題情境引入課題，降低難度，教給學(xué)生從特殊到一般的研究問題的方法和策略，激發(fā)學(xué)生去解決問題，探究問題，得出結(jié)論。在這個過程中，老師作適當(dāng)?shù)狞c撥、引導(dǎo)，讓學(xué)生逐步逼近目標(biāo)，充分展示數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的思維過程，讓學(xué)生均能自覺主動地參與進(jìn)來。教師的主導(dǎo)作用，學(xué)生的主體地位都得以充分體現(xiàn)，然后讓學(xué)生自己歸納、總結(jié)得出結(jié)論，享受成功的喜悅和快樂。對教材上的例10、例11，由于是直接應(yīng)用點到直線的距離公式，較易，故我讓學(xué)生直接去閱讀、去理解，熟悉點到直線的距離公式。但對例11的稍許變化，卻抓住不放，通過例11的解法的啟示，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步去應(yīng)用點到直線的距離公式去探究二平行直線間的距離公式，利用有限的時間和學(xué)生剛成功的那一股學(xué)習(xí)的慣性，對教材進(jìn)行拓廣，讓學(xué)生對歸納總結(jié)出的公式有更加深刻、透徹的理解和掌握，達(dá)到靈活應(yīng)用的目的。
3．教學(xué)目標(biāo)：
1）、使學(xué)生掌握點到直線的距離公式及結(jié)構(gòu)特點，并能熟練準(zhǔn)確的應(yīng)用這一公式，達(dá)到理解掌握知識的目的。
2）、學(xué)會尋找點到直線距離公式的思維過程及推導(dǎo)方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題的能力。
3）、教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，分類討論的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生在研究討論問題時的數(shù)學(xué)技能和實際動手能力以及思維的嚴(yán)密性。
4）、教學(xué)中鼓勵同學(xué)相互討論，取長補短，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和團(tuán)隊精神。
4．重點、難點：
理解和掌握點到直線的距離公式，熟練的應(yīng)用公式求點到直線的距離是本節(jié)學(xué)習(xí)的重點，難點是點到直線距離公式的推導(dǎo)。
二．學(xué)情分析：
我所在的學(xué)�！拇ㄊ∏h中學(xué)，雖然是一個國家級重點中學(xué)，但同時又由于渠縣是一個農(nóng)業(yè)大縣，一個國家級貧困縣，80%以上的學(xué)生來自偏遠(yuǎn)的鄉(xiāng)村及山區(qū)，教育理念和教育水平都較落后，學(xué)生在小學(xué)、初中階段基本上都是在死記硬背、囫圇吞棗中渡過的，很少在數(shù)學(xué)上享受過真正意義上的研究問題、探索發(fā)現(xiàn)問題的樂趣，都習(xí)慣于跟著老師的思路走，不善于自己開動腦筋去研究問題、探索問題。鑒于此，我們在教學(xué)中正逐步采用探索式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自己理解、掌握知識，逐步培養(yǎng)和提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題的能力，以及合作意識和合作精神的目的。
三．主要教學(xué)構(gòu)想：
通過創(chuàng)設(shè)問題情景自然引入課題，降低教材難度。主要由學(xué)生去探究，去發(fā)現(xiàn)，去討論，去歸納總結(jié)得到公式，再輔以適當(dāng)?shù)睦}、習(xí)題幫助學(xué)生熟悉公式，學(xué)會運用。特別是引導(dǎo)學(xué)生對例11的進(jìn)一步探究，既拓廣了教材，又進(jìn)一步加深了同學(xué)們對從特殊到一般的研究方法的理解。從而達(dá)到探究——討論——歸納總結(jié)——完善結(jié)論——牢固掌握——靈活運用的目的。
四．教學(xué)過程：
1．創(chuàng)設(shè)問題情境：
實例：某供電局計劃年底解決本地區(qū)最后一個村莊的用電問題，經(jīng)過測量，若按部門內(nèi)部設(shè)計的坐標(biāo)圖（即以供電局為直角坐標(biāo)原點，正東方向為x軸的正半軸，正北方向為y軸的正半軸，長度單位為千米），得知這個村莊的坐標(biāo)是（15，20），離它最近的只有一條直線線路通過，其方程為：3x–4y–10=0,問要完成任務(wù)，至少需要多長的電線？（如圖4—1所示）
〈字幕出示題及圖，讓學(xué)生閱讀、理解、思考，約2分鐘〉
引入課題：
[師講]同學(xué)們，通過剛才的讀題和理解已經(jīng)知道，這實際上是一個求點到直線的距離的問題，也即我們這節(jié)課所要研究討論的問題。
2．解決問題情境：
[師繼續(xù)講]下面，請同學(xué)們應(yīng)用已學(xué)過的知識，自己想一個辦法來解決此問題，甚至不一定要求結(jié)果，只要得出一個思路即可。
〈讓同學(xué)思考、討論約5分鐘，然后讓學(xué)生自己舉手回答，老師點評，約10分鐘〉
學(xué)生可能的回答：
[答一]拉一根繩子量一下即可。
[師問]可以，但哪里去找那么長的繩子？還有其它辦法嗎？
可能會有學(xué)生眾補充：測距儀！測距儀！
[師肯定]好辦法！將來肯定是做工程師的材料！請坐下。
[師繼續(xù)]但如果由于條件的限制，我們手里僅有紙、筆及三角板（或直尺），能不能發(fā)揮我們的數(shù)學(xué)特長，用所學(xué)數(shù)學(xué)知識來解決呢？
可以肯定，被開方式是一個二次項系數(shù)為正的二次函數(shù)，x0又不受限制，應(yīng)該有最小值，從而︱PQ︱有最小值，此最小值即為所求。
[師肯定]好思路！既利用了直線方程設(shè)出了直線上的一點，又利用兩點間的距離公式得到了一個二次項系數(shù)為正的二次函數(shù)，且不管根號的影響，大著膽子求二次函數(shù)的最小值，求出的最小值開平方即得結(jié)果。但要考慮兩個問題：①求出的二次函數(shù)的最小值有無為負(fù)數(shù)的可能？②此種方法的運算量是否偏大？同學(xué)們可利用課后時間試著推演一下。
[答三]要求點P到直線上的點的最短距離，即求點P到直線的距離，由點到直線距離的概念，直接過點P作PQ垂直于直線于Q點，則線段PQ的長即為所求。（如圖4—2所示）
Q的坐標(biāo)，再由兩點間的距離公式可得出：︱PQ︱=9
[師肯定]好思路！直接運用了剛學(xué)過的直線的方程，二直線的交點，二直線垂直的條件，兩點間的距離公式等知識，用到了解析幾何的基本方法。在有數(shù)據(jù)做具體運算時不失為一種好方法，但仍有一定的運算量。不信，同學(xué)們下來后又可驗算一番。
[答四]<可能預(yù)習(xí)過教材的同學(xué)>
過P作PQ垂直于直線于Q點，則PQ即為所求，再過點P分別作軸、軸的平行線分別交直線于M，N點（如圖4—3所示）
[師肯定]方法相當(dāng)不錯！既有數(shù)形結(jié)合的思想，構(gòu)造的思想，又妙用了解析幾何中坐標(biāo)的概念，直線上的點的概念及兩點間的距離公式等知識。但為什么如此做呢？（老師分析、歸納）：該做法充分運用了點P的坐標(biāo)的意義，通過體現(xiàn)點P的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)過P作軸、軸的平行線時與直線有二交點，這二交點與點P自然而然地構(gòu)成了一個直角三角形，又由于這二交點在直線上，從而可得二交點的坐標(biāo)，再由兩點間的距離公式可進(jìn)一步得到直角三角形的三條邊長，至此，由直角三角形面積公式得到點P到直線的距離|PQ|也就是水到渠成的事情了。但仍顯得有一定的運算量。
�。ㄈ绻麑W(xué)生還有其它解法，老師可在黑板上隨機應(yīng)變地板書。）
�。ㄈ绻麑W(xué)生一個方法均未想到，老師可作如下引導(dǎo)：<字幕逐條顯示，圖形中的線段依順序逐一顯示>
�、� 什么是點P到直線的距離？
過P作直線的垂線，垂足為Q，則|PQ|即是點P到直線的距離。（如圖4—4所示）
�、� 點P的坐標(biāo)的意義如何？
過P分別作軸、軸的垂線，垂足分別為K、I，則有向線段KP、IP的數(shù)量即為點P的坐標(biāo)。
�、� 體現(xiàn)一下點P的坐標(biāo)如何？
發(fā)現(xiàn)，過P作軸的垂線時，與直線有一交點N，且N點的橫坐標(biāo)與點P的橫坐標(biāo)一致，而N點在直線上，從而由直線的方程可得N點的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得線段PN的長。
受此啟發(fā)，過P作軸的垂線PI時，由于與直線無交點，故作PI的反向延長線與直線交于點M，從而點M的縱坐標(biāo)與點P的縱坐標(biāo)一致，且橫坐標(biāo)通過直線的方程也易求得，線段PM的長也就求得了。
�、苎矍耙涣�，直角三角形MPN已渾然天成，且MN的長也可由兩點間距離公式求得，從而由直角三角形面積公式可求得|PQ|的長。
3．點到直線距離公式的推導(dǎo)：〈15分鐘〉
[師講]通過前面[答二]、[答三]、[答四]，我們都遇到了同一個攔路虎，即運算量較大的問題，而我們今后將會遇到大量的類似問題，如果都如此運算，未免太浪費寶貴的時間。此時此刻，我們多么需要有一個簡便的運算點到直線的距離的公式來解救我們！
下面，就讓我們?nèi)ヌ骄窟@個公式吧，用我們今天的辛苦去換取我們明天的簡捷吧！（暗示公式的存在，激發(fā)同學(xué)們探究的興趣，增強同學(xué)們探究成功的信心。）
[出示問題]在平面直角坐標(biāo)系中，如果已知某點P的的坐標(biāo)為（）,直線的方程是Ax+By+C=0,（如圖所示），怎樣由點的坐標(biāo)和直線的方程去直接求點P到直線的距離？
[師講]下面，仍然請同學(xué)們自己想辦法解決此問題。（可以讓前面一排的同學(xué)轉(zhuǎn)過去與后面的同學(xué)每四個人一組進(jìn)行討論解決。老師到同學(xué)們中間去巡視，了解同學(xué)們的思路，及時的加以點撥，同時也對同學(xué)們的探究方法和探究能力做到心中有數(shù)。）
[老師估計]由于有前面的[答二]、[答三]、[答四]或老師的引導(dǎo)作鋪墊，（這個鋪墊非常重要！故前面占用了較多的時間也不可惜！）故大多數(shù)同學(xué)可能會按[答四]的方法做：<老師可以作預(yù)見性的字幕板書，在大多數(shù)同學(xué)完成后再出示。如有同學(xué)按[答三]的思路做，老師提示，運算量太大，一般不采用。>
過點P作軸的平行線，交于點R（）；作軸的平行線，交于點S（）。（如圖4—5所示）
此時，可能同學(xué)們會大舒一口氣，但老師緊接著進(jìn)一步提出：“諸位，考慮到A,B為零的情況沒有？請進(jìn)一步考慮一下A,B為零的情況如何？”
<抓住同學(xué)們思維不慎密之處，體現(xiàn)嚴(yán)密的邏輯思維，體現(xiàn)分類討論的思想>
同學(xué)們的思維可能又重新活躍起來，進(jìn)行分類討論：
四川省渠縣中學(xué)數(shù)學(xué)組 張銘
2004年9月